本文摘要：本文译自MIT缅因数理学院的艾希礼·瑞特于1995年9月12日揭晓的论文，可供从事数学研究或者事情中要用到数学的读者书写论文时参考。原文引用的参考文献为：【2】 Steenrod, N.E.， "How to write Mathematics", Amer. Math. Soc. 1983, ISBN 0821800558翻译：在百度翻译的基础上经人工校对修正了一些表述。由于水平有限，译文不妥在所难免，建议有写作需求的读者下载原文进一步阅读。

本文译自MIT缅因数理学院的艾希礼·瑞特于1995年9月12日揭晓的论文，可供从事数学研究或者事情中要用到数学的读者书写论文时参考。原文引用的参考文献为：【2】 Steenrod, N.E.， "How to write Mathematics", Amer. Math. Soc. 1983, ISBN 0821800558翻译：在百度翻译的基础上经人工校对修正了一些表述。由于水平有限，译文不妥在所难免，建议有写作需求的读者下载原文进一步阅读。

一、引言：为何要重视数学论文的写作？好的数学写作，就像好的数学思维一样，是一项必须实践和进步才气到达最佳体现的技术。本文旨在为年轻数学家撰写第一篇论文提供资助，其目的不仅是资助学生写好一篇论文，而且资助学生开始思考数学写作。

我很是感谢一本精彩的小册子《如何写数学》（即前面先容的引文【2】——译者注），它提供了这篇文章的大部门内容。我将直接引述其中不少内容，特别是引述保罗·霍尔莫斯（Paul Halmos）写的那一节。

我怀疑，本文中险些所有的想法都泉源于我阅读的这本小册子。它可以从美国数学学会获得，认真学习数学写作的学生应该自己查阅这本小册子。其他大多数想法都源于我对本人糟糕的数学写作的失望。

虽然从糟糕的数学写作中学习数学并不是学习好的写作的最佳方式，但它可以有效地提供制止犯错的借鉴。思维活跃的数学读者应注重数学论文样本中那些看起来显得不清楚的地方，并制止在自己的写作中犯同样的错误。

书面与口头的数学交流都是一个滤波器，透过它可以审视你的数学事情。如果把数学事情的缔造性方面用“作曲”来比喻，那么写作艺术就可以用“演奏曲子”来比喻。

作为一名数学家，你有权对你自己的曲子举行演奏和演出！对听众来说，谱曲与演奏同样重要。如果你纯粹是为了自己的兴趣而做数学，那么就没有理由去写它了。如果你希望分享你所做的数学之美，那么仅仅写是不够的——你必须努力把它写好。

本文将从数学写作的一般观点开始。目的是资助学生制定论文纲领。

下一节将形貌论文的“正式”部门和“非正式”部门之间的区别，并为每一部门提供指导原则。第四节将讨论如何书写一个奇特的数学证明。

本文的末端部门是整整一节，其中包罗在写作和重写论文时需要思量的详细建议。二、写作前：组织论文险些所有写作的目的都是为了交流。为了更好地交流，你必须同时思量你想要相同的内容以及你希望与谁相同。对于数学写作来说，这一点不亚于任何其他形式的写作。

数学写作的主要目的是用经心构建的逻辑推理来断言数学陈述的真实性。细心的数学读者不会假定你的事情是有凭据的，除非他被说服。

说服读者是你数学写作的第一个目的。然而，仅仅向读者说服你的事情的真实性是不够的。当你书写你自己的数学研究时，你会有另一个目的：希望你的读者浏览你所做的数学之美，并明白它的重要性。

如果将整个数学或与你相关的子领域看作是一幅大型的绘画作品，那么你的研究将一定组成整个作品中相对微小的一部门。它的漂亮不仅体现在对你所画的特定区域的考察中（只管这很重要），而且通过视察你自己的作品如何“融入”到整体画面中来。

这两个目的——说服你的读者相信你的推论的真实性，并让你的读者看到你的事情与整个数学的关系的漂亮——在你为论文制定纲领的时候，这将是至关重要的。有时，你可能会把自己当成一个导游，引导读者穿越只有你自己绘制的区域。一位乐成的数学作家将为她的读者画出两幅逻辑图，一幅展示了她自己的作品与辽阔的数学世界之间的联系，另一幅则展现了她自己作品的内在逻辑结构。为了给读者提供建议，你必须首先思量你的作品在数学逻辑图上的位置。

如果你的读者会见过数学逻辑图四周的地域，那么你想让他在他的脑海中回忆这些履历，这样他就能更好地明白你必须添加的内容，并将其与相关数学联系起来。问几个问题可能有助于你分辨你的事情的特色和定位：你的效果是否通过对某个事物举行更准确的特性形貌来强化先前的效果？你有没有通过削弱假设或增强结论来证明旧定理有更强有力的效果？你证明晰两个界说的等价性了吗？它是一个结构的分类定理，以前被界说过但没有被明白？数学的两个先前不相关的方面是否联系在一起？对旧问题应用了新方法吗？是否为一个旧定理提供了新的证明？这是一个更大问题的特例吗？你有须要在数学结构中明确地思量这个定位问题，因为在你回覆这个问题之前，它会一直萦绕在读者的脑海中。如果不能解决这个问题，读者会感应很是不满足。

除了提供数学逻辑图来资助读者在数学领域内定位您的事情，您还必须资助他们相识您事情的内部组织：你的效果集中在一个突出的定理里吗？或者你有几个相关但同样重要的定理吗？你找到重要的反例了吗？你的研究是在定理证明的意义上的纯粹的理论数学，还是你的研究涉及到几种差别类型的应用？例如，在盘算机上模拟一个问题，证明一个定理，然后做与你的事情有关的物理实验？你的事情是朝着解决一个经典问题迈出了清晰（只管很小）的一步，还是一个新问题？ 因为你的读者直到读完你的论文后才知道你要证明什么，所以应提前告诉他他要读什么，这将使他越发享受“阅读旅行”的兴趣，并相识更多你引导他去做的事情。要老实而刻意地解释你的事情与数学研究的大局相符，可能需要很是谦虚。你可能会对自己的成就显得很小而感应失望。不要烦恼！数学已经积累了数千年，是基于数千（或数百万）从业者的事情。

有人说，纵然是最好的数学家，在他们的一生中也很少有凌驾一个真正良好的想法。如果你是高中生的话，那真是太令人惊讶了！一旦你思量了研究的结构和相关性，你就准备好概述你的论文了。

研究论文的公认花样在数学上的界说比其他许多科学领域要严格得多。你有足够的空间来制定一个特别适合你论文的纲领。可是，论文险些总是包罗几个尺度部门：配景、简介、正文和未来的事情。配景将有助于引导你的读者，提供你将带他去那里的第一个想法。

在配景中，您将给出问题历史的最明确形貌，只管提示和引用可能会放在论文的其他地方。读者希望在本节中回覆一些问题：他为什么要读这篇论文？这篇论文的重点是什么？这个问题是从那里来的？这个领域已经知道了什么？为什么作者认为这个问题很有趣？例如，如果他不喜欢偏微分方程，就应该提前警告他会遇到它们。如果他不熟悉概率的第一个观点，那么如果你的论文依赖于这种明白，他应该提前获得警告。请记着，只管你可能花了几百个小时来解决你的问题，但你的读者希望在几分钟内把所有这些问题都清楚地回覆出来。

在论文的第二部门，导言部门，你将开始引导读者进入你的事情，特别是从大局到详细效果的放大。这里是先容界说和引理的地方，这些界说和引理是该领域的尺度，可是您的读者可能不知道。

正文由几个部门组成，包罗了你大部门的事情。当你到达最后一节“研究意义”时，你可能已经厌倦了你的问题，可是这一节对你的读者来说是至关重要的。

作为论文主题的世界专家，您处于一个奇特的情况中，可以指导您所在领域的未来研究。喜欢你论文的读者可能想继续在你的领域事情。他（她）自然会有她/他自己的问题，但你在写了这篇论文之后，会比你的读者更清楚哪些问题可能有趣，哪些问题可能没有趣。

如果你继续研究这个话题，你会问什么问题？此外，对于某些论文，您的事情可能会有重要影响。如果你研究过一个物理现象的数学模型，那么在物理世界中，你的数学事情的效果是什么？这些问题是你的读者希望在论文的最后一节中回覆的。你应该注意不要让他们失望！三、正式和非正式先容一旦你有了论文的基本纲领，你应该思量“由界说、定理和证明组成的正式结构或逻辑结构，以及由念头、类比、例子和数学解释组成的增补性非正式或先容性质料。在任何数学表达中，都应该显着地保持质料的这种划分，因为主题的本质首先要求逻辑结构清晰。

”（p.1）这两种类型的质料并行泛起，以使读者能够从逻辑和认知两方面明白你的事情（这通常是很是差别的——你们中有几多人认为在证明微积分的基本定理之前，积分可以用反导数来盘算？）。由于正式结构不依赖于非正式结构，作者可以在添加任何非正式结构之前，详细地写下前者。因此，写作历程的下一个阶段可能是制定论文逻辑结构的纲领。问有几个问题可能会有所资助：首先，你到底证明晰什么？这些定理所依据的引理是什么（你自己的或他人的）。

这些定理的推论是什么？在决议哪些效果称为引理、哪些定理和哪些推论时，问问自己哪些是中心思想。哪一个是自然地从别人那里来的，哪一个是真正的孝敬？写作的结构要求你的假设和推论必须切合线性顺序（即由简朴到庞大的顺序）。

对于这种线性结构，引理的庞大水平越来越高，一个接一个，直到一个定理被证明，随后是一系列越来越庞大的推论。然而，很少有研究论文真正具有这样的线性结构，而是反过来，看起来就像庞大的图形，其中几个基本假设以庞大的方式与一些众所周知的定理相联合，可能有几个看似独立的推理门路会在最后一步聚集。事实上，任何断言都应该从它所依赖的引理和定理得出。可能有许多满足这一要求的线性顺序。

鉴于这一难题，你有责任首先自己明白这一结构，其次，摆设你写作的一定线性结构，以尽可能反映你论文的结构。固然，这一写作简直切方式取决于详细情况。资助您展现论文庞大逻辑结构的一种方法是正确地命名效果。通过适当地命名你的效果（引理作为基础，定理作为焦点效果，推论作为收尾事情），你将在你的引理中缔造出某种平行感，资助你的读者浏览和快速游览哪些是你关键的想法，而不能让读者费劲地似乎与你举行一起研究一样。

另一种生长简明逻辑纲领的方式泉源于《如何写数学》的作者保罗·霍尔莫斯（Paul Halmos）的警告：从不重复证明。如果定理2证明中的几个步骤与定理1证明中的某些部门很是相似，那么这是一个信号，讲明某些工具可能没有被完全明白。同一毛病的其他症状是：“使用与定理1的证明中相同的技术（或方法、装置或技巧）”，或冒失地使用“参见定理1的证明”。当这种情况发生时，很有可能值得结构一个可公式化和可证明的引理，从这个引理可以更容易、更清楚地推导出定理1和定理2。

（第35页）在你开始写论文之前，这些结构问题应该经由深思熟虑，只管写作自己的历程确实有助于你更好地明白结构。我们已经讨论完了正式结构，现在我们就转向非正式结构。正式结构包罗正式界说、定理证明花样和严谨的逻辑，这是“纯”数学的语言。

非正式结构是正式结构的增补。它使用不那么严格（但也同样准确）的语言，在阐明作品的数学位置和更具认知性的出现中起着重要的作用。因为只管数学家用逻辑语言写作，但实际上很少有人用逻辑语言思考(只管我们确实用逻辑思维)，因此为了明白你的事情，他们将会极大地受益于对为什么某事是真的以及你是如何证明这样一个定理的微妙论证。

在你写作之前，在这些非正式的章节中概述你希望交流的内容，很可能会让交流更有效。在开始写之前，您还必须思量数学符号。

符号的选择是撰写研究论文的关键部门。实际上，你正在发现一种你的读者为了明白你的论文必须学习的语言。

好的符号首先让读者忘记他正在学习一种新的语言，其次提供了一个框架，在这个框架中，你的证明的要点被清楚地明白了。另一方面，糟糕的注释是灾难性的，可能会阻止读者阅读你的论文。在大多数情况下，遵循老例是明智的。例如，不要对函数使用x（f），而应该按老例使用f(x)。

四、证明写一个好的证明的第一步是对定理的陈述。一个说话恰当的定剖析使写证明变得容易得多。定理的陈述首先应该包罗正确的假设。固然，必须包罗所有须要的假设。

另一方面，应尽可能滤除无关的假设，因为无关假设只会让读者疏散注意力，无法将注意力集中在你定理要表达的看法上。当你写证明的时候，就像写整篇论文一样，你必须以线性的顺序，写下一组假设和推论，这些假设和推论在形式上可能不是线性的。我建议，在你写作之前，你先把假设和推论拟订出来，并试图以一种对读者造成最少杂乱的方式对陈述举行排序。

在《如何写数学》中，哈尔莫斯（Halmos）提供了几个关于编写证明的重要建议：1. 用正向证明方法，而不是逆向证明方法。逆向证明的优点是容易被机械验证，但不适合被人明白。正向证明的摆设是可以明白和影象的。（第43页）2. 制止不须要的符号。

思量由等号离开的一长串表达式组成的证明。这样的证明很容易写。

作者从第一个方程开始，举行自然替换获得第二个方程，合并同类项、置换、插入并去掉一其中间因子，然后通过这些步骤举行，直到他获得最后一个方程。这种证明又是一次编码，读者不仅被迫一边学习，还一边去解码。这种让肩负翻倍的做法是不须要的。

应多花10分钟写一个文字性段落，用以先容证明历程的秘诀，取代那些只陈诉效果和需要读者推测的无用历程。这段话可以是这样的：“作为证明，首先用P取代Q，然后合并同类项，置换因子，最后插入并取消一个因子R。”（第42-43页）五、详细建议在任何形式的交流中，都有一定的文体习惯，这会使你的写作或多或少地被明白。

写完初稿后，最好对这些内容举行检查和更正。我这些想法中的许多来自《如何写数学》，而且在那里更充实地证明晰其合理性。前面已界说的符号在一连几页甚至几段中如果没有被使用，再次泛起时应交接在前面那里界说了或者重新提示其意义。论文的结构应做到很容易地通过你的标题和标点符号来识别。

在整个论文中，应该对所涉及的问题有一个清晰的界说。论文标题是读者接触你的论文的第一个要素。它必须向你所在领域的专家以及感兴趣的新手转达某种信息。

因此，术语在技术上必须是正确的。不要过分使用标点符号，如句点或逗号。它们很容易被读者看漏，而且这样的漏读会导致回溯、杂乱和延误。

不要以符号作为句子的开头。如果你坚持在句子开头提到符号所表现的工具，那么在符号之前加上适当的术语，例如，“荟萃x属于C类，…”而不是“x属于C类，…”。

对于逗号也是如此。不要使用“对于可逆x，x*也是可逆的”，而要使用“对于可逆x，陪同x*也是可逆的。”（第44页）在所有的数学上下文中，我推荐“如果”（“if”）与“那么”（“then”）连起来使用，因为“那么”的存在永远不会引起混淆。

另一个关键特性是页面的结构或架构。“如果它看起来像纯朴的白话文，它会令人生畏且显得机器；如果它看起来像盘算散列充满数学符号，则会显得恐怖和庞大。

中庸之道是黄金。把它拆开，但不要太小；用白话文，但不要太多。穿插足够多的展示，给眼睛一个资助大脑的时机；使用符号，但在足够多的白话文中间，以防止大脑淹没在一堆后缀之中。

”（第44-5页）同一符号不能用于多个事物；如果在一个证明中使用n作为计数，则在下一个证明中使用m，除非这两个符号在每一个证明中都起着相似的作用。所有符号都应该有意义（没有自由变量）：“制止使用不须要的符号。

例如“在紧凑空间上，每个实值一连函数f都是有界的”，这里符号“f”对该语句的清晰度没有任何孝敬。（第41页）在日常英语中，“any”是一个模棱两可的单词。到底是指一个限定的量词（如"if anyone can do it, he can")）还是指一个通用的量词（如"any number can play"），取决于上下文。因此，不要在数学写作中使用“any”。

用“each”或“every”替换，或改写整个句子（第38页）不要事后界说，例如，不要使用“如果n足够大，那么an<e，其中e是预先指定的正数”。不要使用“等价”，因为定理的“等价”是逻辑上的空话。这里所说的“定理”是指一个数学真理，一个已经被证明的工具。一个有意义的陈述可能是错误的，但一个定理不能。

至于“如果……那么……如果……那么”，这只是一个写作快手和慢速读者常犯的文体错误。例如，“如果P，那么Q，那么R”虽然在逻辑过意得去，但从心理上来说可能把读者绊住。如果依据自己意义要求，改成“如果P和Q，那么R”或者“在P的存在下，假设Q则意味着结论R”会更清晰。

用反例来说明定理条件的须要性。正确使用词语：区分功效和价值。

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